Question

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA
（Ⅰ）证明：AC∥平面PMD；
（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）要证明AC∥平面PMD，关键是要在平面PMD中找到一条与AC平行的直线，然后根据线面平行的判定定理进行证明，观察到平面PMD中已知的三条直线与AC均不平行，故我们要添加辅助线进行证明，取PD的中点E，则ME即为所求．
（2）要求直线BD与平面PCD所成的角的大小，关键是要找到BD在平面PCD上的射影，由已知我们易证平面PBC⊥平面PCD，故过B点作PC的垂线BF，则F即为B点在平面PCD上的射影，则∠BDF，即为直线BD与平面PDC所成的夹角，解三角形BDF后，即可求解．

解答：（Ⅰ）证明：如图，取PD的中点E，连EO，EM．
∵EO∥PB，EO=

1

2

PB，MA∥PB，MA=

1

2

PB，
∴EO∥MA，且EO=MA、
∴四边形MAOE是平行四边形．
∴ME∥AC
又∵AC?平面PMD，ME?平面PMD，
∴AC∥平面PMD

（Ⅱ）如图，PB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD
∴CD⊥PB、
又∵CD⊥BC，∴CD⊥平面PBC、
∵CD?平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD、
过B作BF⊥PC于F，则BF⊥平面PDC，
连接DF，则DF为BD在平面PCD上的射影．
∴∠BDF是直线BD与平面PDC所成的角
不妨设AB=2，
则在Rt△PBC中，PB=BC=2，BF⊥PC，
∴BF=

1

2

PC=

2

．
∵BD=2

2

．
∴在Rt△BFD中，BF=

1

2

BD，
∴∠BDF=

π

6

．
∴直线BD与平面PCD所成的角是

π

6

．

点评：求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造--作出或找到斜线与射影所成的角；②设定--论证所作或找到的角为所求的角；③计算--常用解三角形的方法求角；④结论--点明斜线和平面所成的角的值．