Question

【题目】过抛物线E:x2=2py(p>0) 的焦点F作斜率分别为 k1,k2 的两条不同的直线 l1,l2 ，且k1+k2=2 ，l1与E 相交于点A，B， l2与E 相交于点C，D.以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为 l .
（1）若k1>0,k2>0 ，证明；；
（2）若点M到直线 l 的距离的最小值为 ，求抛物线E的方程.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】由题意，抛物线E的焦点为 ，直线 l1 的方程为 .

由 ，得 x2-2pk1x-p2=0 ，设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，

则 x1,x2 是上述方程的两个实数根，从而x1+x2 =2pk1, ，y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk12+p ，所以点M的坐标为 ， ，同理可得点N的坐标为 ， ，于是

，由题设， k1+k2=2 ，k1>0,k2>0, ，

所以 ，故

（2）

【解答】由抛物线的定义得 ， ，

所以|AB|=y1+y2+p=2pk12+2p ，从而圆M的半径r1=pk12+p ，故圆M的方程为 ，

化简得

同理可得圆N的方程为 .于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为 ，又 ， ，则 的方程为 ，因为 p>0 ，所以点M到直线l的距离 ，故当 时， d 取最小值 ，由题设， ，解得 p=8 ，故所求抛物线E的方程为x2=16y .

【解析】(1)先写出过抛物线焦点的直线方程,然后和抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系以及向量的坐标运算可得到结果.(2)利用抛物线的焦点弦长公式求出|AB|,此即圆M的直径,进而可求出圆M的方程,同理可求出圆N的方程,再把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线 方程,于是代入条件即可求解.