【题目】已知 ,函数 f(x)=x2(x-a) ,若f'(1)=1 .
(1)求 a 的值并求曲线 y=f(x) 在点(1,f(1)) 处的切线方程y=g(x) ;
(2)设h(x)=f'(x)+g(x) ,求 h(x) 在 [0,1] 上的最大值与最小值.
【答案】
(1)
解:f'(x)=3x2-2ax ,由 f'(1)=1 得 3-2a=1 ,所以 a=1 ;
当 a=1 时,f(x)=x3-x2,f(1)=0 ,又 f'(1)=1 ,
所以曲线y=f(x) 在(1,f(1)) 处的切线方程为 y-0=x-1 ,即g(x)=x-1 ;
(2)
【解答】
解:由(1)得 ,
又h(0)=-1,h(1)=1, ,
∴ h(x) 在 [0,1] 上有最大值1,有最小值 .
【解析】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程,解决问题的关键是根据导数的几何意义求解切线方程以及函数的最值,属于中档题
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】已知椭圆经过点
,
的四个顶点构成的四边形面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆上是否存在相异两点
,使其满足:①直线
与直线
的斜率互为相反数;②线段
的中点在
轴上,若存在,求出
的平分线与椭圆相交所得弦的弦长;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t为参数).
(1)写出函数f(x)的定义域和值域;
(2)当x∈[0,1]时,如果f(x)≤g(x),求参数t的取值范围.
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【题目】已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线 的距离小1.
(1)求曲线C的方程;
(2)过点 P(2,2)的直线m与曲线C交于A,B两点,设当△AOB的面积为4时(O为坐标原点),求
的值.
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【题目】过抛物线E:x2=2py(p>0) 的焦点F作斜率分别为 k1,k2 的两条不同的直线 l1,l2 ,且k1+k2=2 ,l1与E 相交于点A,B, l2与E 相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为 l .
(1)若k1>0,k2>0 ,证明;;
(2)若点M到直线 l 的距离的最小值为 ,求抛物线E的方程.
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【题目】已知定理:“实数m,n为常数,若函数h(x)满足h(m+x)+h(m﹣x)=2n,则函数y=h(x)的图象关于点(m,n)成中心对称”.
(1)已知函数f(x)= 的图象关于点(1,b)成中心对称,求实数b的值;
(2)已知函数g(x)满足g(2+x)+g(﹣x)=4,当x∈[0,2]时,都有g(x)≤3成立,且当x∈[0,1]时,g(x)=2k(x﹣1)+1 , 求实数k的取值范围.
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