Question

已知△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，求点P到AC、BC的距离乘积的最大值．

Answer 1

分析：依题意，建系可求得直线AC的方程为

7

x+3y-3

7

=0，利用点到直线间的距离公式与基本不等式即可求得答案．

解答：解：∵∠ABC=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，依题意，作图如下：
BC在x轴上，B点与原点O重合，点A（0，b）在y轴正半轴上，
依题意知，b=

42-32

=

7

，
设点P（0，m）（0＜m＜

7

），
∵直线AC的方程为

x

3

+

y

7

=1，即

7

x+3y-3

7

=0，
∴点P（0，m）到直线

7

x+3y-3

7

=0的距离（即点P（0，m）到AC的距离）d=

|3m-3 7 |

( 7 )2+32

=

3

4

|m-

7

|=

3

4

（

7

-m），
又点P（0，m）到BC的距离为m，
∴点P到AC、BC的距离乘积f（m）=m•

3

4

（

7

-m）≤

3

4

•(

m+( 7 -m)

2

)2=

3

4

•

7

4

=

21

16

（当且仅当m=

7

2

时取“=”）．
∴点P到AC、BC的距离乘积的最大值为

21

16

．

点评：本题考查点到直线的距离公式，着重考查基本不等式的应用，考查转化与运算能力，属于中档题．