在实数集R上定义运算:xy=x(a-y)(a∈R,a为常数).若f(x)=ex,g(x)=e-x+2x2,F(x)=f(x)g(x).
(Ⅰ)求F(x)的解析式;
(Ⅱ)若F(x)在R上是减函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若a=-3,在F(x)的曲线上是否存在两点,使得过这两点的切线互相垂直?若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由.
解:(Ⅰ)由题意,F(x)=f(x)(a-g(x)) 2分
=ex(a-e-x-2x2)
=aex-1-2x2ex 4分
(Ⅱ)∵(x)=aex-2x2ex-4xex=-ex(2x2+4x-a), 6分
当x∈R时,F(x)在减函数,
∴(x)≤0对于x∈R恒成立,即
-ex(2x2+4x-a)≤0恒成立, 8分
∵ex>0,
∴2x2+4x-a≥0恒成立,
∴△=16-8(-a)≤0,
∴a≤-2. 10分
(Ⅲ)当a=-3时,F(x)=-3ex-1-2x2ex,
设P(x1,y1),Q(x2,y2)是F(x)曲线上的任意两点,
∵(x)=-ex(2x2+4x+3)
=-ex[2(x+1)2+1]<0, 12分
∴(x1)·(x2)>0,
∴(x1)·(x2)=-1不成立 13分
∴F(x)的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直. 14分
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