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在实数集R上定义运算:xyx(ay)(aRa为常数).若f(x)=exg(x)=ex+2x2,F(x)=f(x)g(x).

(Ⅰ)求F(x)的解析式;

(Ⅱ)若F(x)在R上是减函数,求实数a的取值范围;

(Ⅲ)若a=-3,在F(x)的曲线上是否存在两点,使得过这两点的切线互相垂直?若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由.

答案:
解析:

  解:(Ⅰ)由题意,F(x)=f(x)(ag(x)) 2分

  =ex(a-ex-2x2)

  =aex-1-2x2ex 4分

  (Ⅱ)∵(x)=aex-2x2ex-4xex=-ex(2x2+4xa), 6分

  当x∈R时,F(x)在减函数,

  ∴(x)≤0对于xR恒成立,即

  -ex(2x2+4xa)≤0恒成立, 8分

  ∵ex>0,

  ∴2x2+4xa≥0恒成立,

  ∴△=16-8(-a)≤0,

  ∴a≤-2. 10分

  (Ⅲ)当a=-3时,F(x)=-3ex-1-2x2ex

  设P(x1y1),Q(x2y2)是F(x)曲线上的任意两点,

  ∵(x)=-ex(2x2+4x+3)

  =-ex[2(x+1)2+1]<0, 12分

  ∴(x1(x2)>0,

  ∴(x1(x2)=-1不成立 13分

  ∴F(x)的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直. 14分


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