Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a（x-1）^{2}\\;x＜1}\\{（a-3）x+4a\\;x≥1}\end{array}\right.$满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，3）
• B． （0，3]
• C． （0，$\frac{3}{5}$）
• D． （0，$\frac{3}{5}$]

Answer 1

分析 利用函数f（x）满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，可得函数f（x）是减函数．根据分段函数建立不等式，即可确定a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴函数f（x）是减函数．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a-3＜0}\\{0≥a-3+4a}\end{array}\right.$，
∴0＜a≤$\frac{3}{5}$，
故选：D．

点评 本题考查a的取值范围，考查函数的单调性的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．