Question

8．已知关于x的二次方程x²-6xsinα+tanα=0（0＜α＜$\frac{π}{2}$）有两个相等的实根．求sinα+cosα的值．

Answer 1

分析 由已知可得△=36sin²α-4tanα=0，即tanα=9sin²α=$\frac{sinα}{cosα}$，即sinαcosα=$\frac{1}{9}$，进而利用平方法，得到答案．

解答 解：∵关于x的二次方程x²-6xsinα+tanα=0（0＜α＜$\frac{π}{2}$）有两个相等的实根．
∴△=36sin²α-4tanα=0，
即tanα=9sin²α=$\frac{sinα}{cosα}$，
故sinαcosα=$\frac{1}{9}$，
∵（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{11}{9}$，
∴sinα+cosα=$\frac{\sqrt{11}}{3}$

点评 本题考查的知识点是一元二次方程根的个数与△的关系，同角三角函数的基本关系，其中得到sinαcosα=$\frac{1}{9}$，是解答的关键．