Question

13．若函数f（x）=x²+2ax-a-1（x∈[0，2]）的最小值为-2，求实数a的值．

Answer 1

分析 分析函数f（x）=x²+2ax-a-1的图象和性质，结合函数在区间[0，2]上的最小值为-2，分类讨论，满足条件的a值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：二次函数y=f（x）=x²+2ax-a-1的图象是开口朝上，且以直线x=-a为对称轴的抛物线，
当-a≤0，即a≥0时，函数在区间[0，2]上单调递增，当x=0时函数取最小-a-1=-2，解得a=1；
当0＜-a＜2，即-2＜a＜0时，函数在区间[0，-a]上单调递减，在[-a，2]上单调递增，当x=-a时函数取最小-a²-a-1=-2，解得：a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（舍去），或a=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$；
当-a≥2，即a≤-2时，函数在区间[0，2]上单调递减，当x=2时函数取最小3a+3=-2，解得：a=$-\frac{5}{3}$（舍去）；
综上所述，a=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，或a=1．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．