Question

12．若${（{x^2}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$（n∈N^*）的二项展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项的系数为$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 根据在${（{x^2}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$（n∈N^*）的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，得到${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{4}$，解得n=6，写出二项式的通项公式，设二项式（x²+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁶的展开式的系数最大的项为第r+1项，所以$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{r+1}≥{T}_{r}}\\{{T}_{r+1}≥{T}_{r+2}}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求系数．

解答 解：若${（{x^2}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）^n}$（n∈N^*）的二项展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，
则${C}_{n}^{2}$=${C}_{n}^{4}$，解得n=6，
二项式（x²+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁶的展开式通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$（x²）^6-r（$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）^r=${C}_{6}^{r}$（$\frac{1}{2}$）^rx${\;}^{12-\frac{5r}{2}}$，
设二项式（x²+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁶的展开式的系数最大的项为第r+1项，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{T}_{r+1}≥{T}_{r}}\\{{T}_{r+1}≥{T}_{r+2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{6}^{r}（\frac{1}{2}）^{r}{≥C}_{6}^{r-1}（\frac{1}{2}）^{r-1}}\\{{C}_{6}^{r}（\frac{1}{2}）^{r}{≥C}_{6}^{r+1}（\frac{1}{2}）^{r+1}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{4}{3}$≤r≤$\frac{7}{3}$，r为正整数
所以r=2，
则展开式中系数最大的项为第3项，即系数为${C}_{6}^{2}$（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{15}{4}$．
故答案为：$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查二项式系数的性质，本题解题的关键是正确利用二项式系数的性质，注意和组合数联系，本题是中档题．