Question

14．如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求证：A₁B⊥C₁M．
（2）求cos＜$\overrightarrow{B{A}_{1}}$，$\overrightarrow{C{B}_{1}}$＞的值．

Answer 1

分析 （1）我们求出向量$\overrightarrow{{BA}_{1}}$，$\overrightarrow{{C}_{1}M}$的坐标，然后代入向量数量积公式，判定两个向量的数量积是否为0，若成立，则表明A₁B⊥C₁M
（2）分别求出向量$\overrightarrow{{BA}_{1}}$，$\overrightarrow{{CB}_{1}}$的坐标，然后代入两个向量夹角余弦公式，即可得到cos＜$\overrightarrow{{BA}_{1}}$，$\overrightarrow{{CB}_{1}}$＞的值；

解答 解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
（1）证明：依题意得A₁（1，0，2），B（0，1，0），C₁（0，0，2），M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$•$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+0=0，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$⊥$\overrightarrow{{C}_{1}M}$（6分）

（2）依题意得C（0，0，0），B₁（0，1，2）．
∴$\overrightarrow{{BA}_{1}}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{{CB}_{1}}$=（0，1，2），
∴$\overrightarrow{{BA}_{1}}$•$\overrightarrow{{CB}_{1}}$=3，|$\overrightarrow{{BA}_{1}}$|=$\sqrt{6}$，|$\overrightarrow{{CB}_{1}}$|=$\sqrt{5}$（9分）
∴cos＜$\overrightarrow{{BA}_{1}}$，$\overrightarrow{{CB}_{1}}$＞=$\frac{|\overrightarrow{{BA}_{1}}•\overrightarrow{{CB}_{1}}|}{\left|\overrightarrow{{BA}_{1}}\right|•\left|\overrightarrow{{CB}_{1}}\right|}$=$\frac{3}{\sqrt{30}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$（12分）

点评 本小题主要考查空间向量及运算的基本知识，空间中点、线、面的距离计算，空间两点间距离公式，异面直线及其所成的角，其中建立空间坐标系，确定各点坐标，及直线方向向量的坐标是解答本题的关键．