Question

20．已知一个分段函数可利用函数$S（x）=\left\{\begin{array}{l}1\;，\;x≥0\\ 0\;，\;x＜0\end{array}\right.$来表示，例如要表示一个分段函数$g（x）=\left\{\begin{array}{l}x\;，\;x≥2\\-x\;，\;x＜2\end{array}\right.$，可将函数g（x）表示为g（x）=xS（x-2）+（-x）S（2-x）．现有一个函数f（x）=（-x²+4x-3）S（x-1）+（x²-1）S（1-x）．
（1）求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值；
（2）若关于x的不等式f（x）≤kx对任意x∈[0，+∞）都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x-3\;，\;x≥1\\{x^2}-1\;，\;x＜1\end{array}\right.$，利用二次函数的单调性可求得函数f（x）在区间[0，4]上的最大值与最小值；
（2）在同一坐标系中作出y=f（x）与y=kx的图象，令kx=-x²+4x-3，即x²+（k-4）x+3=0，由△=0可求得k的值，结合图象可求得，对任意x∈[0，+∞）都成立时，实数k的取值范围．

解答 解：（1）由题意可知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x-3\;，\;x≥1\\{x^2}-1\;，\;x＜1\end{array}\right.$，
当1≤x≤4时，f（x）=-（x-2）²+1，则f（x）在[1，2]上递增，在[2，4]上递减；
当0≤x＜1时，f（x）=x²-1，则f（x）在[0，1）上递增，
而f（0）=-1，f（2）=1，f（4）=-3，所以f（x）_max=f（2）=1，f（x）_min=f（4）=-3；
（2）由图可知，

当直线y=kx与抛物线y=-x²+4x-3只有一个交点时，令kx=-x²+4x-3，即x²+（k-4）x+3=0，由△=0，得（k-4）²-12=0，得k=4±2$\sqrt{3}$，
结合图象，可知当k≥4-2$\sqrt{3}$时，关于x的不等式f（x）≤kx对任意x∈[0，+∞）都成立．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数的最值及其几何意义，突出考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，考查推理、运算及作图能力，属于难题．