Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²-3x．
（1）若f（x）在x=3处有极值，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求f（x）在区间[0，4]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）由题意得f'（3）=9-3a-3=0，解出a后检验即可；
（2）利用导数求得函数的极值、断点处函数值，其中最大者即为最大值；

解答： 解：（1）f'（x）=x²-ax-3．
∵f（x）在x=3处有极值，∴f'（3）=9-3a-3=0，即a=2．
∴f'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）．
当x∈（-1，3）时，f'（x）＜0，当x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在x=3处取得极值时，a=2．
（2）在（1）的条件下，f(x)=

1

3

x3-x2-3x，f′（x）=x²-2x-3，
令f′（x）=0，得x=-1或x=3，
由（1）知函数f（x）在x=-1和x=3处有极值．
又f（0）=0，f（3）=-9，f(4)=-

20

3

，
∴f（x）在区间[0，4]上的最大值为f（0）=0．

点评：该题考查利用导数研究函数的极值、最值，正确理解导数与函数极值、最值的关系是解题关键．