Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n满足S_n=

1

2

-

1

2

an．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（x）=log₃x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），T_n=

1

b1

+

1

b2

+

1

bn

，求T₂₀₁₄；
（3）若c_n=a_n•f（a_n），求{c_n}的前n项和U_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据数列的递推公式，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列b_n的表达式，利用裂项法求T₂₀₁₄；
（3）求出c_n=a_n•f（a_n）的通项公式，利用错位相减法求{c_n}的前n项和U_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=

1

3

，
当n≥2时，an=s_n-s_n-1
又S_n=

1

2

-

1

2

a_n
∴a_n=

1

3

a_n-1
∴a_n=（

1

3

）ⁿ．
（2）f（a_n）=log₃（

1

3

）ⁿ=-n，
则b_n=-1-2-3-…-n=-

n(n+1)

2

，
故

1

bn

=-2（

1

n

-

1

n+1

），
又T_n=-2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=-2（1-

1

n+1

），
∴T₂₀₁₄=-

4028

2015

．
（3）C_n=（-n）（

1

3

）ⁿ，
∴U_n=C₁+C₂+…C_n=-[1×（

1

3

）¹+2×（

1

3

）²+…+n•（

1

3

）ⁿ]
又

1

3

U_n=-[1×（

1

3

）²+2×（

1

3

）³+…+n（

1

3

）ⁿ⁺¹]
∴

2

3

U_n=-[（

1

3

）¹+（

1

3

）²+…-n（

1

3

）ⁿ⁺¹]
=-

1

2

+

1

2

（

1

3

）ⁿ+n（

1

3

）ⁿ⁺¹
∴U_n=-

3

4

+

3

4

（

1

3

）ⁿ+

3

2

n•（

1

3

）ⁿ⁺¹．

点评：本题主要考查数列通项公式的计算，以及数列求和，要求熟练掌握数列求和的两种方法：裂项法和错位相减法．