Question

已知f（x）=-

1

2

+sin（

π

6

-2x）+cos（2x-

π

3

）+cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-

π

8

，

3π

8

]上的最大值，并求出f（x）取最大值时x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行化简，利用周期公式求得函数的最小正周期．
（2）根据x的范围，确定2x的范围，进而根据三角函数的图象求得函数的最大值．

解答： 解：f（x）=-

1

2

+sin（

π

6

-2x）+cos（2x-

π

3

）+cos²x=cos（2x+

π

3

）+cos（2x-

π

3

）+

1+cos2x

2

-

1

2

=2cos2xcos

π

3

+

cos2x

2

=

3

2

cos2x，
故f（x）的周期是T=

2π

2

=π．
（2）∵x∈[-

π

8

，

3π

8

]，2x∈[-

π

4

，

3π

4

]，故当x=0时，f（x）的最大值是

3

2

点评：本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对三角函数基础知识的灵活运用．