Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是A₁B₁，AC₁的中点．
（1）求证：MN∥平面BCC₁B₁；
（2）求证：平面MAC₁⊥平面ABC₁．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）欲证MN||平面BCC₁B₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面BCC₁B₁内一直线平行即可，而连接BC₁，AC₁．根据中位线定理可知MN||BC₁，又MN?平面BCC₁B₁满足定理所需条件；
（2）证明MN⊥BC₁，MN⊥AC₁，即可证明MN⊥平面ABC₁，从而证明平面MAC₁⊥平面ABC₁．

解答： 证明：（1）连接BC₁，AC₁．
在△ABC₁中，∵M，N是AB，A₁C的中点，∴MN∥BC₁．
又∵MN?平面BCC₁B₁，∴MN∥平面BCC₁B₁．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，
∴四边形BCC₁B₁是正方形，
∴BC₁⊥B₁C，
∴MN⊥BC₁，
连接AM，C₁M，则△AMA₁≌△B₁MC₁，
∴AM=C₁M，
∵N是AC₁的中点，
∴MN⊥AC₁，
∵AC₁∩BC₁=C₁，
∴MN⊥平面ABC₁，
∵MN?平面MAC₁，
∴平面MAC₁⊥平面ABC₁．

点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α⇒a∥β）．