Question

等比数列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，
（1）若a₃，a₅分别是等差数列{b_n}的第3项和第5项，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n+b_n，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知求出等比数列的公比，进一步求出a₃，a₅，即等差数列{b_n}的第3项和第5项，再求出等差数列的公差，然后代入等差数列的通项公式得答案；
（2）由（1）求出等比数列的通项公式，代入c_n=a_n+b_n，然后分别利用等比数列和等差数列的前n项和得
{c_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）在等比数列{a_n}中，由a₁=2，a₄=16，
得q3=

a4

a1

=

16

2

=8，q=2．
∴a3=a1q2=8，a5=a1q4=32，
即b₃=8，b₅=32．
∵数列{b_n}是等差数列，
∴d=

b5-b3

5-3

=

32-8

2

=12．
则b_n=b₃+（n-3）d=8+12（n-3）=12n-28；
（2）由（1）得，an=2n，b_n=12n-28．
∴c_n=a_n+b_n=2ⁿ+12n-28．
∴{c_n}的前n项和T_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=（2+2²+…+2ⁿ）+（-16-4+8+…+12n-28）
=

2(1-2n)

1-2

+[-16n+

12n(n-1)

2

]=2ⁿ⁺¹+6n²-22n-2．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．