Question

已知各项均为正数的数列{a_n}前n项和S_n满足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），（n∈N^*）
（1）求通项a_n；
（2）设b_n=|

Sn

n

-3n+20|，求数列{b_n}前n项和T_n的表达式．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）先根据题设求得a₁，进而根据a_n+1=S_n+1-S_n整理得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，求得a_n+1-a_n=3，判断出{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列，则数列的通项公式可得；
（2）由（1）求出数列{a_n}前n项和S_n，代入

Sn

n

-3n+20，然后分段求出数列{b_n}前n项和T_n．

解答： 解：（1）由a1=S1=

1

6

（a₁+1）（a₂+1），
解得a₁=1或a₁=2，
由假设a₁=S₁＞1，因此a₁=2，
又由an+1=Sn+1-Sn=

1

6

(an+1+1)(an+1+2)-

1

6

(an+1)(an+2)，
得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
即a_n+1-a_n-3=0或a_n+1=-a_n，
∵a_n＞0，
故a_n+1=-a_n不成立，舍去，
因此a_n+1-a_n=3，
从而{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列，
故{a_n}的通项为a_n=3n-1；
（2）由（1）得，Sn=na1+

n(n-1)

2

d=2n+

3

2

n(n-1)=

3

2

n2+

1

2

n，
∴

Sn

n

-3n+20=

3

2

n+

1

2

-3n+20=-

3

2

n+

41

2

．
由-

3

2

n+

41

2

＞0，得n＜

41

3

，
∴数列{-

3

2

n+

41

2

}的前13项大于0，自14项起小于0．
又数列{-

3

2

n+

41

2

}的首项为19，公差为-

3

2

．
∴当n≤13时，数列b_n的前n项和T_n=19n+

n(n-1)

2

×(-

3

2

)=-

3

4

n2+

79

4

n．
当n＞13时，T_n=

3

4

n2-

79

4

n+2(-

3

4

×132+

79

4

×13)=

3

4

n2-

79

4

n+260．
∴Tn=

- 3 4 n2+ 79 4 n，n≤13 3 4 n2- 79 4 n+260，n＞13

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列前n项和的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．