Question

已知函数f（x）=sin

πx

3

，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f（2014）=

 

．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：先求得函数的周期为6，再求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=0，要求的式子化为sin

2014π

3

，再利用诱导公式计算求得结果．

解答： 解：函数f（x）=sin

πx

3

的周期为

2π

π 3

=6，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=

3

2

+

3

2

+0+（-

3

2

）+（-

3

2

）+0=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）+f（2014）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）]+f（2014）=0+sin

2014π

3

=sin（670π+

4π

3

）=sin

4π

3

=-sin

π

3

=-

3

2

，
故答案为：-

3

2

．

点评：本题主要考查利用函数的周期性以及诱导公式求函数的值，属于基础题．