Question

已知f（x）=alnx+x²
（1）讨论f（x）的单调性，
（2）当a＞0时，若对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≥3|x₁-x₂|，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数f′（x），分a≥0，a＜0两种情况进行讨论，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）由（1）知a＞0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，不妨设x₁＜x₂，则不等式可化为可化为f（x₂）-f（x₁）≥3x₂-3x₁，即f（x₂）-3x₂≥f（x₁）-3x₁，令g（x）=f（x）-3x，可知g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而有g′（x）≥0恒成立，分离参数a后化为函数的最值即可；

解答： 解：（1）f′(x)=

a

x

+2x=

a+2x2

x

，
当a≥0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，令f′（x）＞0得：x＞

- a 2

，f′（x）＜0得：0＜x＜

- a 2

，
此时f（x）的递增区间为（

- a 2

，+∞)），f（x）的递减区间为(0，

- a 2

)；
（2）由（1）知a＞0时f（x）在（0，+∞）上单调递增，
不妨设x₁＜x₂，则|f（x₁）-f（x₂）|≥3|x₁-x₂|可化为f（x₂）-f（x₁）≥3x₂-3x₁，即f（x₂）-3x₂≥f（x₁）-3x₁，
令g（x）=f（x）-3x，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g′（x）=f′（x）-3=

a+2x2

x

-3=

a+2x2-3x

x

≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≥-2x²+3x=-2(x-

3

4

)2+

9

8

，
∴a≥

9

8

．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，属中档题．