练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的焦距为2
    		2
    ，设F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，且△PF1Q的周长为4
    		3
    ．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）设△PQF1的面积为
    		3
    ，求直线PQ的斜率．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）由已知条件推导出2c=2
    		2
    ，4a=4
    		3
    ，由此能求出椭圆的方程．
    （2）设直线PQ的斜率为k，则直线PQ：y=k(x-
    		2
    )    ，联立
    y=k(x-
    		2
    )
    x2
    3
    +y2=1
    ，得（1+3k2）x-6
    		2
    k2x+6k2-3=0，由椭圆弦长公式和点到直线的距离公式能求出直线PQ的斜率．
    解答： 解：（1）∵椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的焦距为2
    		2
    ，
    ∴2c=2
    		2
    ，解得c=
    		2
    ，（1分）
    ∵F1、F2为椭圆的左、右焦点，过F2作直线交椭圆于P、Q两点，且△PF1Q的周长为4
    		3
    ，
    ∴4a=4
    		3
    ，解得a=
    		3
    ，（2分）
    ∴b2=3-2=1，
    ∴椭圆的方程为
    x2
    3
    +y2=1    ．（4分）
    （2）设直线PQ的斜率为k，
    ∵F2(
    		2
    ，0)    ，∴直线PQ：y=k(x-
    		2
    )    ，
    联立
    y=k(x-
    		2
    )
    x2
    3
    +y2=1
    ，得（1+3k2）x-6
    		2
    k2x+6k2-3=0，（5分）
    设P（x1，y1），Q（x2，y2），
    则△＞0，x1+x2=
    6
    		2
    k2
    1+3k2
    ，x1x2=
    6k2-3
    1+3k2
    ，
    F1（-
    		2
    ，0）到直线PQ的距离d=
    |-
    		2
    k-
    		2
    k|
    		k2+1
    =
    2
    		2
    |k|
    		k2+1
    ，（6分）
    ∵△PQF1的面积为
    		3
    ，
    ∴
    1
    2
    d•|PQ|    =
    		2
    |k|
    		k2+1
    		(1+k2)[(
    6
    		2
    k2
    1+3k2
    )2-4×
    6k2-3
    1+3k2
    ]
    =
    		3
    ，（8分）
    解得k=±1．（10分）
    点评：本题考是椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意椭圆弦长公式和点到直线的距离公式的灵活运用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    一个学生能够通过某种英语听力测试的概率是
    1
    2
    ，他连续测试2次，那么其中恰有一次获得通过的概率是（　　）
    A、
    1
    4
    B、
    1
    3
    C、
    1
    2
    D、
    3
    4

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    若（
    		x
    +
    3
    x
    ）n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=（　　）
    A、4B、5C、6D、7

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=alnx+x2
    （1）讨论f（x）的单调性，
    （2）当a＞0时，若对于任意x1，x2∈（0，+∞），都有|f（x1）-f（x2）|≥3|x1-x2|，求a的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax2-x（a∈R），若对任意x＞0，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=-x3+ax2+1（a∈R）．
    （1）若函数y=f（x）在区间（0，
    2
    3
    ）上递增，在区间[
    2
    3
    ，+∞）递减，求a的值；
    （2）当x∈[0，1]时，设函数y=f（x）图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ，若给定常数a∈（
    3
    2
    ，+∞），求tanθ的取值范围；
    （3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1（m∈R）的图象与函数y=f（x）的图象恰有三个交点．若存在，求实数m的取值范围；若不存在，试说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x，数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．
    （1）求数列{an}的通项公式an；
    （2）令bn=
    an
    2n-1
    ，求数列{bn}的前n项和Tn；
    （3）令cn=
    an
    an+1
    +
    an+1
    an
    ，证明：c1+c2+…+cn＞2n．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an} 的首项a1=1前n项和Sn满足Sn+1=Sn+an+1，n∈N*，数列{bn}的前n项和Tn=1-
    1
    3
    bn
    （Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
    （Ⅱ）设Cn=an•
    		bn
    ，
        ①求数列{cn}前n项和Pn；  
        ②证明：当且仅当n≥2时，cn+1＜cn．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足条件S8=36，a3=3．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）令bn=
    1
    an
    +
    1
    an+1
    +…+
    1
    a2n
    ，若对任意正整数n∈N*，log2（
    1
    4
    x2+x）-bn＞0恒成立，求x的取值范围．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案