Question

已知f（x）=

3

sin

x

2

+cos

x

2

（x∈R）．
（1）求它的振幅，周期及对称中心；
（2）求这个函数的单调递增区间；
（3）说明该函数的图象可由f（x）=sinx的图象经过怎样的变换而得到？

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式对函数解析式进行化简整理，进而根据三角函数图象和性质求得函数的振幅，周期和对称中心．
（2）利用（1）中函数的解析式，和三角函数的图象求得函数的单调增区间．
（3）根据图象平移的原则，对函数f（x）=sinx的图象进行平移．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin

x

2

+cos

x

2

=2（

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

）=2sin（

x

2

+

π

6

），
∴函数f（x）的振幅为2，周期T=

2π

1 2

=4π，
令

x

2

+

π

6

=kπ，x=2kπ-

π

3

，k∈Z，
故函数的对称中心为（2kπ-

π

3

，0）（k∈Z）．
（2）当2kπ-

π

2

≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

时，4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

，k∈Z，
故函数的单调增区间为[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（3）f（x）=sinx

向左平移 π 6 个单位

f（x）=sin（x+

π

6

）

纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍

f（x）=sin（

x

2

+

π

6

）

横坐标不变，纵坐标扩大2倍

f（x）=2sin（

x

2

+

π

6

）．

点评：本题主要考查了三家函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质，三角函数图象的变换．考查了学生基础知识的综合运用．