Question

（1）已知：a，b，c都是正实数，且ab+bc+ca=1，求证：a²+b²+c²≥1．
（2）若下列三个方程：x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求a的取值范围．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,不等式的证明

专题：选作题,反证法

分析：（1）利用基本不等式、以及不等式的性质，证得要证的不等式；
（2）先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程 x²+4ax-4a+3=0，x²+（a-1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围．

解答： （1）证明：∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
∴2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca）．
又∵ab+bc+ca=1，
∴a²+b²+c²≥1；
（2）解：假设没有一个方程有实数根，则：
16a²-4（3-4a）＜0（1）
（a-1）²-4a²＜0（2）
4a²+8a＜0（3）
解之得：-1.5＜a＜-1
故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥-1或a≤-1.5}．

点评：解题时要合理地运用反证法的思想灵活转化问题，以达到简化解题的目的，在求解如本题这类存在性问题时，若发现正面的求解分类较繁，而其对立面情况较少，不妨如本题采取求其反而成立时的参数的取值范围，然后求此范围的补集，即得所求范围，本题中三个方程都是一元二次方程，故求解时注意根的判别式的运用．