Question

设A_n，B_n是等差数列{a_n}、{b_n}的前n项和，若

An

Bn

=

7n+45

n+3

，则使得

an

bn

为整数的正整数n的个数有

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据等差数列的性质，利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．

解答： 解：由等差数列的前n项和及等差中项，
可得

an

bn

=

2an

2bn

=

a1+a2n-1

b1+b2n-1

=

a1+a2n-1 2 ×(2n-1)

b1+b2n-1 2 ×(2n-1)

=

A2n-1

B2n-1

=

7(2n-1)+45

2n-1+3

=

14n+38

2n+2

=

7n+19

n+1

=7+

12

n+1

，（n∈N^*），
若

an

bn

为整数，则n+1是12的正约数，
故n=1，2，3，5，11时，满足条件．
故答案为：5

点评：本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，已知两个等差数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为A_n和B_n，则有如下关系

an

bn

=

2an

2bn

=

a1+a2n-1

b1+b2n-1

=

a1+a2n-1 2 ×(2n-1)

b1+b2n-1 2 ×(2n-1)

=

A2n-1

B2n-1

．