试题分析:本题考查导数的应用,(1)判断讨论函数的单调性,可以求出其导数
,然后解不等式
,其解集区间是函数的单调增区间,不等式
的解集区间是函数的单调减区间;(2)
在区间
上是增函数,说明不等式
在区间
上恒成立,本题中可求出
,因此不等式
,由于
,则
在
上恒成立,即
的最小值
,记
,它是二次函数,要求它的最小值,可分
和
讨论;(3)题意是不等式
在
上恒成立,记
,则当
时,
恒成立,求其导数
,当
时,在
上,
,
为减函数,
不恒成立(如
),
时,此时要讨论
与
的大小,以便讨论函数
的单调性,求出其最小值
,因为不等式
恒成立,就是
.
(1)当a=1时,
,
所以
, 2分
因为
,所以
恒成立,
所以
在
上单调递增; 3分
(2)因为
,所以
,
因为
在[1, 4]上是增函数,所以在[1, 4]上
恒成立,
即
在[1, 4]上恒成立,① 5分
令
,对称轴为x=1,
因为
,所以当
时,要使①成立,只需g(1)≥0,解得:a≤1,所以0<a≤1,
当
时,要使①成立,只需g(4)≥0,解得:a≥
,所以
≤a<0,
综上,
≤a<0或0<a≤1; 8分
(3)由题意,有
在
上恒成立,
令
,则
在
上恒成立,②
所以
, 10分
当a<0时,因为x>2,则
,所以
在
上单调递减,
又因为
,所以②不恒成立, 12分
当
时,
,此时
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以
,
所以只需
,解得:
,
所以
时②恒成立; 14分
当
时,
,此时
在
上单调递增,
所以
,
因为
,所以
,所以②不恒成立,
综上,实数
的取值范围是:
。 16分