精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知实数,函数
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若在区间上是增函数,求实数的取值范围;
(3)若当时,函数图象上的点均在不等式,所表示的平面区域内,求实数 的取值范围。
(1)单调递增;(2)≤a<0或0<a≤1;(3).

试题分析:本题考查导数的应用,(1)判断讨论函数的单调性,可以求出其导数,然后解不等式,其解集区间是函数的单调增区间,不等式的解集区间是函数的单调减区间;(2)在区间上是增函数,说明不等式在区间上恒成立,本题中可求出,因此不等式,由于,则上恒成立,即的最小值,记,它是二次函数,要求它的最小值,可分讨论;(3)题意是不等式上恒成立,记,则当时,恒成立,求其导数,当时,在上,为减函数,不恒成立(如),时,此时要讨论的大小,以便讨论函数的单调性,求出其最小值,因为不等式恒成立,就是.
(1)当a=1时,
所以,                                2分
因为,所以恒成立,
所以上单调递增;                                    3分
(2)因为,所以
因为在[1, 4]上是增函数,所以在[1, 4]上恒成立,
在[1, 4]上恒成立,①                                5分
,对称轴为x=1,
因为,所以当时,要使①成立,只需g(1)≥0,解得:a≤1,所以0<a≤1,
时,要使①成立,只需g(4)≥0,解得:a≥,所以≤a<0,
综上,≤a<0或0<a≤1;                                            8分
(3)由题意,有上恒成立,
,则上恒成立,②
所以,                        10分
当a<0时,因为x>2,则,所以上单调递减,
又因为,所以②不恒成立,                12分
时,,此时上单调递减,在上单调递增,
所以
所以只需,解得:
所以时②恒成立;                                            14分
时,,此时上单调递增,
所以
因为,所以,所以②不恒成立,
综上,实数 的取值范围是:。                        16分
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数f(x)=x3-ax+1.
(1)求x=1时,f(x)取得极值,求a的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;
(3)若对任意m∈R,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知数列的前项和为,且,对任意,都有.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,求数列的前项和.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

曲线在点(1,-)处切线的倾斜角为(   )
A.30°B.45°C.135°D.150°

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

在平面直角坐标系中,已知P是函数(x>0)的图象上的动点,该图象在点P处的切线交y轴于点M,过点P作的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为,则的最大值是________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

对于上可导的任意函数,若满足,则必有(   ).
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知曲线
(1)试求曲线在点处的切线方程;
(2)试求与直线平行的曲线C的切线方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

过曲线上的点的切线平行于直线,则切点的坐标为(    )
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

,则(   )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案