(1)因为f′(x)=x
2-a,
当x=1时,f(x)取得极值,所以f′(1)=1-a=0,a=1.
又当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,
所以f(x)在x=1处取得极小值,即a=1符合题意.
(2)当a≤0时,f′(x)>0对x∈(0,1)成立,
所以f(x)在[0,1]上单调递增,f(x)在x=0处取最小值f(0)=1,
当a>0时,令f′(x)=x
2-a=0,x
1=-
,x
2=
,
当0<a<1时,
<1,
x∈(0,
)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
x∈(
,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)在x=
处取得最小值f(
)=1-
.
当a≥1时,
≥1,
x∈[0,1]时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=1处取得最小值f(1)=
-a.
综上所述,
当a≤0时,f(x)在x=0处取最小值f(0)=1;
当0<a<1时,f(x)在x=
处取得最小值f(
)=1-
;
当a≥1时,f(x)在x=1处取得最小值f(1)=
-a.
(3)因为?m∈R,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线,
所以f′(x)=x
2-a≠-1对x∈R成立,
只要f′(x)=x
2-a的最小值大于-1即可,
而f′(x)=x
2-a的最小值为f(0)=-a,
所以-a>-1,即a<1.
所以a的取值范围是(-∞,-1).