精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=x3-ax+1.
(1)求x=1时,f(x)取得极值,求a的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的最小值;
(3)若对任意m∈R,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线,求a的取值范围.
(1)1   (2)见解析   (3)(-∞,-1)
(1)因为f′(x)=x2-a,
当x=1时,f(x)取得极值,所以f′(1)=1-a=0,a=1.
又当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,
所以f(x)在x=1处取得极小值,即a=1符合题意.
(2)当a≤0时,f′(x)>0对x∈(0,1)成立,
所以f(x)在[0,1]上单调递增,f(x)在x=0处取最小值f(0)=1,
当a>0时,令f′(x)=x2-a=0,x1=-,x2
当0<a<1时,<1,
x∈(0,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
x∈(,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)在x=处取得最小值f()=1-.
当a≥1时,≥1,
x∈[0,1]时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-a.
综上所述,
当a≤0时,f(x)在x=0处取最小值f(0)=1;
当0<a<1时,f(x)在x=处取得最小值f()=1-
当a≥1时,f(x)在x=1处取得最小值f(1)=-a.
(3)因为?m∈R,直线y=-x+m都不是曲线y=f(x)的切线,
所以f′(x)=x2-a≠-1对x∈R成立,
只要f′(x)=x2-a的最小值大于-1即可,
而f′(x)=x2-a的最小值为f(0)=-a,
所以-a>-1,即a<1.
所以a的取值范围是(-∞,-1).
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数满足如下条件:当时,,且对任
,都有.
(1)求函数的图象在点处的切线方程;
(2)求当时,函数的解析式;
(3)是否存在,使得等式
成立?若存在就求出),若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)求函数的极值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

(2014·南京模拟)已知曲线f(x)=lnx在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为__________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知实数,函数
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)若在区间上是增函数,求实数的取值范围;
(3)若当时,函数图象上的点均在不等式,所表示的平面区域内,求实数 的取值范围。

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知是曲线的两条互相平行的切线,则的距离的最大值为_____.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若存在正实数,对于任意,都有,则称函数 上是有
界函数.下列函数①;  ②;  ③;  ④
其中“在上是有界函数”的序号为          

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知的图象在处有相同的切线,
=     .

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

若函数为奇函数,其图象的一条切线方程为,则b的值为  

查看答案和解析>>

同步练习册答案