Question

【题目】已知．

（1）当为常数，且在区间变化时，求的最小值；

（2）证明：对任意的，总存在，使得 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析。

【解析】试题分析：（1）设，则，当时，，所以函数在区间上单调递增，则其最小值为，即；（2）令，，由于，所以，于是得到函数在区间上递减，在区间上递增，分情况讨论，当时，函数在区间上递减，经验证，存在，使得，当时，函数在内单调递减，在内单调递增，所以时，函数取最小值，经验证，存在，使得.

试题解析：（1）当为常数时，

，，

，当，，在上递增，其最小值．

（2）令，，

由，当在区间内变化时，与变化情况如下表：

		0
	单调递减	极小值	单调递增

①当，即时，在区间内单调递减，

，，

所以对任意，在区间内均存在零点，即存在，使得；

②当，即时，在内单调递减，在内单调递增，

所以时，函数取最小值，

又，

若，则，，

所以在内存在零点；

若，则，，

所以在内存在零点，

所以，对任意，在区间内均存在零点，即存在，使得．

结合①②，对任意的，总存在，使得．