【题目】已知.
(1)当为常数,且
在区间
变化时,求
的最小值
;
(2)证明:对任意的,总存在
,使得
.
【答案】(1);(2)证明见解析。
【解析】试题分析:(1)设,则
,当
时,
,所以函数
在区间
上单调递增,则其最小值为
,即
;(2)令
,
,由于
,所以
,于是得到函数
在区间
上递减,在区间
上递增,分情况讨论,当
时,函数
在区间
上递减,经验证,存在
,使得
,当
时,函数
在
内单调递减,在
内单调递增,所以
时,函数
取最小值
,经验证,存在
,使得
.
试题解析:(1)当为常数时,
,
,
,当
,
,
在
上递增,其最小值
.
(2)令,
,
由,当
在区间
内变化时,
与
变化情况如下表:
0 | |||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
①当,即
时,
在区间
内单调递减,
,
,
所以对任意,
在区间
内均存在零点,即存在
,使得
;
②当,即
时,
在
内单调递减,在
内单调递增,
所以时,函数
取最小值
,
又,
若,则
,
,
所以在
内存在零点;
若,则
,
,
所以在
内存在零点,
所以,对任意,
在区间
内均存在零点,即存在
,使得
.
结合①②,对任意的,总存在
,使得
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.
(Ⅰ)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?
(Ⅱ)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.
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【题目】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 其生产的总成本(万元)与年产量
(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为
,已知此生产线年产量最大为
吨.
(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;
(2)若毎吨产品平均出厂价为万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少?
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【题目】已知函数,(其中
,
是自然对数的底数)。
(Ⅰ)若关于的方程
有唯一实根,求
的值;
(Ⅱ)若过原点作曲线的切线
与直线
垂直,证明:
;
(Ⅲ)设,当
时,
恒成立,求实数
的取值范围。
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【题目】已知直线,半径为
的圆
与
相切,圆心
在
轴上且在直线
的右上方.
(1)求圆的方程;
(2)过点的任意直线与圆
交于
两点(
在
轴上方),问在
轴正半轴上是否存在定点
,
使得轴平分
?若存在,请求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】重庆某重点中学高一新生小王家在县城A地,现在主城B地上学。周六小王的父母从早上8点从家出发,驾车3小时到达主城B地,期间由于交通等原因,小王父母的车所走的路程(单位:km)与离家的时间
(单位:h)的函数关系为
。达到主城B地后,小王父母把车停在B地,在学校陪小王玩到16点,然后开车从B地以
的速度沿原路返回。
(1)求这天小王父母的车所走路程(单位:km)与离家时间
(单位:h)的函数解析式;
(2)在距离小王家60处有一加油站,求这天小王父母的车途经加油站的时间。
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【题目】为了解某天甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中的微量元素的含量(单位:毫克).当产品中的微量元素
满足
,且
时,该产品为优等品.已知甲厂该天生产的产品共有98件,下表是乙厂的5件产品的测量数据:
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
169 | 178 | 166 | 175 | 180 | |
75 | 80 | 77 | 70 | 81 |
(1)求乙厂该天生产的产品数量;
(2)用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出取上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率。
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【题目】已知定点,动点
在圆
:
上,线段
的中垂线为直线
,直线
交直线
于点
,动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若点在第二象限,且相应的直线
与曲线
和抛物线
:
都相切,求点
的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中,选出恰当的一种填空:“a=0”是“函数f(x)=x2+ax(x∈R)为偶函数”的 .
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