Question

【题目】如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米.

（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？

（Ⅱ）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）（0，)∪（6，＋∞)；（2）当DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．

【解析】

试题分析：（1）设出相关量坐标，确定该矩形的长和高，进而确定其面积，通过解一元二次不等式进行求解；（2）利用基本不等式进行求解．

试题解析：（1）设DN的长为x（x＞0)米， 则AN＝（x＋2)米．

∵＝，∴AM＝，∴SAMPN＝AN·AM＝，

由SAMPN＞32，得＞32.

又x＞0，得3x2－20x＋12＞0，解得：0＜x＜ 或 x＞6，

即DN长的取值范围是（0，)∪（6，＋∞)．

（2）矩形花坛AMPN的面积为y＝＝

＝3x＋＋12≥2＋12＝24，

当且仅当3x＝，即x＝2时，取得最小值24.

故DN的长为2米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为24平方米．