Question

8．设函数f（x）=ax²+bx+$\frac{3}{4}$在x=0处取得极值且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线2x+4y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y=f（x）和直线2x+4y-3=0所围成的封闭图象的面积；
（3）设函数g（x）=$\frac{e^x}{f（x）}$，若方程g（x）=m有三个不同的实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f′（0）=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+4y-9=0相互垂直”，则有f′（1）=2，从而求解；
（2）利用微积分基本定理来求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积；
（3）由（1）可得到：g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+\frac{3}{4}}$，求出导数，令导数为0，求出两极值点，则由其两根来构建单调区间求出极值，只需使m大于极小值且小于极大值即可．

解答 解：（1）因f（x）=ax²+bx+$\frac{3}{4}$，故f′（x）=2ax+b，
又f（x）在x=0处取得极限值，故f′（0）=0，从而b=0，
由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+4y-9=0相互垂直，
可知该切线斜率为2，
即f′（1）=2，有2a=2，从而a=1，
故a=1，b=0；
（2）由（1）知f（x）=x²+$\frac{3}{4}$，
联立直线与曲线方程得到x=-$\frac{3}{2}$或x=1
故曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积为
S=${∫}_{-\frac{3}{2}}^{1}$[（-$\frac{1}{2}x$+$\frac{9}{4}$）-（x²+$\frac{3}{4}$）]dx=${∫}_{-\frac{3}{2}}^{1}（-{x}^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}）dx$
=（-$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x）|${\;}_{-\frac{3}{2}}^{1}$=（-$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{2}$）-（$\frac{9}{8}$-$\frac{9}{16}$-$\frac{9}{4}$）=$\frac{125}{48}$；
（3）g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}+\frac{3}{4}）-2x•{e}^{x}}{（{x}^{2}+\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x+\frac{3}{4}）}{（{x}^{2}+\frac{3}{4}）^{2}}$，
令g′（x）=0得到x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{3}{2}$，
根据x₁，x₂列表，得到函数的极值和单调性．

x	（-∞，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）	$\frac{3}{2}$	（$\frac{3}{2}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴函数g（x）的极大值为g（$\frac{1}{2}$）=${e}^{\frac{1}{2}}$，函数g（x）的极小值为g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{3}{2}}$，
方程g（x）=m有三个不同的实根，即为m介于两个极值之间，
∴$\frac{1}{3}$${e}^{\frac{3}{2}}$＜m＜${e}^{\frac{1}{2}}$．

点评 本题主要考查导数的几何意义，函数的极值及函数的单调性．综合性较强，充分考查了函数、方程和不等式三者的内在联系与转化．