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已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=-|x+3|+m.
(1)解关于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R);
(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围.

(1)(-∞,a+1)∪(3-a,+∞);(2)(-∞,5).

解析试题分析:(1)本题是一个含参不等式的求解,需要按a=1,a>1,a<1进行讨论;(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,分离参数为|x-2|+|x+3|>m恒成立.
所以对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,于是得m<5.
试题解析:(1)不等式f(x)+a-1>0,
即|x-2|+a-1>0,
当a=1时,解集为x≠2,即(-∞,2)∪(2,+∞);
当a>1时,解集为全体实数R;
当a<1时,∵|x-2|>1-a,∴x-2>1-a或x-2<a-1,∴x>3-a或x<a+1,
故解集为(-∞,a+1)∪(3-a,+∞).
(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立,即|x-2|+|x+3|>m恒成立.
又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,于是得m<5,
即m的取值范围是(-∞,5).
考点:1.含参不等式的求解;2.不等式恒成立问题.

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