Question

15．已知对于任意实数x，kx²-2x+k恒为正数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 对k讨论，当k=0时，-2x＞0，不恒成立；当k＞0，判别式△＜0时不等式恒成立．解k的不等式即可得到所求范围．

解答 解：对于任意实数x，kx²-2x+k＞0恒成立，
当k=0时，-2x＞0，不恒成立；
当k＞0，判别式△＜0时不等式恒成立．
即有$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{4-4{k}^{2}＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{k＞1或k＜-1}\end{array}\right.$，
解得k＞1．
综上可得实数k的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查二次不等式的恒成立问题，注意运用二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题和易错题．