Question

20．如图，椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，F为右焦点，过F作直线l交椭圆于C、D两点，求△OCD面积的最大值．

Answer 1

分析 通过设直线l方程为x=my+$\sqrt{2}$，并与椭圆方程联立，利用韦达定理可知y_C+y_D=-$\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}$、y_Cy_D=-$\frac{2}{{m}^{2}+2}$，通过完全平方公式可知|y_C-y_D|=$\frac{4}{{m}^{2}+2}$•$\sqrt{{m}^{2}+1}$，通过换元法及基本不等式可知|y_C-y_D|≥2，利用S_△OCD=S_△OCF+S_△ODF计算即得结论．

解答 解：依题意，F（$\sqrt{2}$，0），OF=$\sqrt{2}$，
设直线l方程为：x=my+$\sqrt{2}$，并与椭圆方程联立，
消去y、整理得：（m²+2）y²+$2\sqrt{2}$my-2=0，
∴y_C+y_D=-$\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}$，y_Cy_D=-$\frac{2}{{m}^{2}+2}$，
∴|y_C-y_D|=$\sqrt{（{y}_{C}+{y}_{D}）^{2}-4{y}_{C}{y}_{D}}$
=$\sqrt{（-\frac{2\sqrt{2}m}{{m}^{2}+2}）^{2}+\frac{8}{{m}^{2}+2}}$
=$\frac{4}{{m}^{2}+2}$•$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
记t=$\sqrt{{m}^{2}+1}$，则m²=t²-1，
∴|y_C-y_D|=$\frac{4t}{{t}^{2}+1}$=$\frac{4}{t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{4}{2\sqrt{t•\frac{1}{t}}}$=2（当且仅当$t=\frac{1}{t}$即t=1时等号成立），
∴当t=1即m=0时，|y_C-y_D|取最大值2，
∴S_△OCD=S_△OCF+S_△ODF
=$\frac{1}{2}$OF•|y_C|+$\frac{1}{2}$OF•|y_D|
=$\frac{1}{2}$OF•|y_C-y_D|
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•|y_C-y_D|
≥$\frac{\sqrt{2}}{2}•2$
=$\sqrt{2}$，
∴△OCD面积的最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．