Question

（2012•马鞍山二模）点M（x，y）满足：

3cosθ≤x≤cosθ 3sinθ≤y≤sinθ

（θ∈R），点N（x，y）满足：（x-3）²+（y-3）²=1，则

|MN|

的最小值是（　　）

• A．3

  2

  -3
• B．3

  2

  -4
• C．5
• D．4

Answer 1

分析：根据题意，点N是以C（3，3）为圆心，半径为1的圆上的点．因此，为求

|MN|

的最小值，求C点到M的距离最小值，再减去半径1即可．设M（m，n），给出|CM|²关于m、n的表达式，结合m、n的取值范围和基本不等式，得到|CM|²的最小值，从而得到|CM|的最小值，最后可得

|MN|

的最小值．

解答：解：∵N（x，y）满足：（x-3）²+（y-3）²=1，
∴点N是以C（3，3）为圆心，半径为1的圆上的点
因此，为求

|MN|

的最小值，求C点到M的距离最小值，再减去半径1即可．
设M（m，n），得|CM|²=（3-m）²+（3-n）²=18-6（m+n）+（m²+n²）
∵3cosθ≤m≤cosθ，3sinθ≤m≤sinθ
∴cosθ≤0且sinθ≤0
作图可得：当且仅当cosθ=-1、sinθ=0或cosθ=0、sinθ=-1时，
|CM|+1的最小值为

32+(3+1)2

=5，可得

|MN|

的最小值=5-1=4
故选：D

点评：本题给出两个动点M、N，求它们之间距离的最小值，着重考查了圆的方程、基本不等式求最值和两点间的距离公式等知识，属于中档题．