Question

20．已知函数f（x）=x（1+a|x|）（a∈R），则在同一个坐标系下函数f（x+a）与f（x）的图象不可能的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 去绝对值化简f（x）解析式，对a进行讨论，根据二次函数的性质判断f（x）的单调性，再根据函数平移规律得出两函数图象．

解答 解：f（x）=x（1+a|x|）=x+ax|x|=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x≥0}\\{-a{x}^{2}+x，x＜0}\end{array}\right.$，
 （1）若a＞0，则当x≥0时，对称轴为x=-$\frac{1}{2a}$＜0，开口向上，
x＜0时，对称轴为x=$\frac{1}{2a}$＞0，开口向下，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递增，且f（0）=0，
f（x+a）是由f（x）向左平移a的单位得到的，
此时函数图象为B，
（2）若a＜0，则当x≥0时，对称轴为x=-$\frac{1}{2a}$＞0，开口向下，
x＜0时，对称轴为x=$\frac{1}{2a}$＜0，开口向上，
∴f（x）在（0，+∞）上先减后增，在（-∞，0）先减后增，且f（0）=0，
f（x+a）是由f（x）向右平移|a|的单位得到的，
此时函数图象为A或C，
故选D．

点评 本题考查了函数的单调性判断，二次函数的性质，属于中档题．