Question

【题目】已知函数f(x)＝xln x－aex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)

A. B.(0，e)

C. D.(－∞，e)

Answer 1

【答案】A

【解析】

先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数有两个不同的交点，然后求的导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定图象，最后根据图象确定实数a的取值范围.

f(x)＝x ln x－aex(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1－aex(x>0)，由已知函数f(x)有两个极值点可得y＝a和g(x)＝在(0，＋∞)上有两个交点，

g′(x)＝ (x>0)，令h(x)＝－ln x－1，

则h′(x)＝－－<0，

∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，

∴当x∈(0，1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上单调递增，g(x)≤g(1)＝，

当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，

故g(x)max＝g(1)＝，

而x→0时，g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→0；

若y＝a和g(x)在(0，＋∞)上有两个交点，只需0<a<.