Question

1．已知函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx，求：
（I）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）的最大值与最小值，以及相应的x．

Answer 1

分析 （I）由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得它的最小正周期．
（Ⅱ）根据f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值与最小值，以及相应的x．

解答 解：（I）函数f（x）=2cos²x+2sinxcosx=cos2x+1+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
故f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）对于f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，当2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z时，
函数f（x）取得最大值为$\sqrt{2}$+1．
当2x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ-$\frac{3π}{8}$，k∈Z时，
函数f（x）取得最小值为-$\sqrt{2}$+1．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．