Question

【题目】已知函数，且函数在处取到极值.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若函数，且函数有3个极值点，，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）求出原函数的导函数，由求解值，则曲线在处的切线方程可求；

（2）求出函数的解析式，由，根据已知有

三个解，存在两个不同于的零点， 设，求出取值范围，结合的函数特征，可判断是函数的两个零点，构造函数，研究的单调性，把证明转化为证明即可.

（1）， ，

函数在处取到极值，，即.

则，，

∴曲线在处的切线方程为；

（2），

函数的定义域为且，

令，，

在上单调递减，在上单调递增；

是的最小值；有三个极值点，

，得.

的取值范围为，

当时，，，

；即，是函数的两个零点.

，消去得；

令，，

的零点为，且.

在上递减，在上递增.

要证明，即证，

等价于证明，即.

，即证.

构造函数，则；

只要证明在上单调递减，

函数 在单调递减；

增大时，减小，增大，减小，

在上是减函数.

在上是减函数.

当时， .

即.