Question

已知二次函数f（x）满足f（-2+x）=f（-2-x），f（x）中有最小值-2，且f（x）的图象被x轴截得的线段长为4，求此函数解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由条件可得可得f（x）=a（x+2）²-2，a＞0．令y=0，利用韦达定理求得x₂+x₁、x₂•x₁ 的值，再根据f（x）的图象被x轴截得的线段长为|x₂-x₁|=

(x2+x1)2-4x1•x2

，计算求得结果．

解答： 解：根据二次函数f（x）满足f（-2+x）=f（-2-x），可得它的图象的对称轴方程为x=-2，
再根据f（x）中有最小值-2，可得f（x）=a（x+2）²-2，a＞0．
令y=0，可得ax²+4ax+4a-2=0，∴x₂+x₁=-4，x₂•x₁=4-

2

a

，
∴f（x）的图象被x轴截得的线段长为|x₂-x₁|=

(x2+x1)2-4x1•x2

=

16-4(4- 2 a )

=4，求得a=

1

2

，
∴f（x）=

1

2

（x+2）²-2=

1

2

x²+2x．

点评：本题主要考查二次函数的性质，韦达定理，属于基础题．