Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）三棱锥P-ABC中，由PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，知AC=2，AB=2，由此能求出三棱锥P-ABC的体积．
（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ，由此能求出tanθ．
解答：解：（1）三棱锥P-ABC中，
∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，
∴AC=2，AB=2，…（2分）
所以，体积V_P-ABC=•PA=．…（5分）
（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，
所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ．…（7分）
由已知，AC=EA=AD=2，AB=2，PC=2，
∵AB⊥EF，∴DF⊥EF．…（10分）
在Rt△EFD中，DF=，EF=，
所以，tanθ=．…（12分）
点评：本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．