Question

若函数y=f（x）的最小正周期为π，且图象关于点（

π

3

，0）对称，则f（x）的解析式可以是（　　）

• A、y=sin（

  x

  2

  +

  5π

  6

  ）
• B、y=sin（

  x

  2

  -

  5π

  6

  ）
• C、y=2sin²x-1
• D、y=cos（2x-＜“m“：math dsi：zoomscale=150 dsi：_mathzoomed=1＞π6

  π

  6

  ）

Answer 1

分析：依题意，函数y=f（x）的最小正周期为π，可排除A、B；再利用其图象关于点（

π

3

，0）对称，即可得到答案．

解答：解：∵函数y=f（x）的最小正周期为π，
而A中，其周期T=

2π

1 2

=4π，故可排除A，同理可排除B；
对于C，y=2sin²x-1=-cos2x，
由2x=kπ+

π

2

（k∈Z）得：x=

kπ

2

+

π

4

（k∈Z），
∴y=2sin²x-1的对称中心为（

kπ

2

+

π

4

，0），而（

π

3

，0）∉（

kπ

2

+

π

4

，0），故可排除C；
对于D，当x=

π

3

时，y=cos（

2π

3

-

π

6

）=0，函数y=cos（2x-

π

6

）的图象关于点（

π

3

，0）对称，且其周期T=π，符合题意，故D正确．
故选：D．

点评：本题考查三角函数的图象与性质，考查其周期性与对称性，属于中档题．