Question

设a＞1，函数f（x）的图象与函数y=4-a^|x-2|-2•a^x-2的图象关于点A（1，2）对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：（1）由于函数图象是中心对称图形，可求出任意一点的对称点，再利用这两点都在图象上，得到函数的解析式；
（2）利用图象特征研究方程有不同的正根，得到参数m的取值范围．

解答： 解：（1）设点P（x，y）是函数f（x）图象上任意一点，P关于点A对称的点为P′（x′，y′），
则

x+x′

2

=1，

y+y′

2

=2，
于是x′=2-x，y′=4-y，
因为P′（x′，y′）在函数g（x）的图象上，
所以y′=4-a^|x'-2|-2•a^x'-2，
即4-y=4-a^|-x|-2•a^-x，y=a^|x|+2•a^-x，
所以f（x）=a^|x|+2•a^-x．
（2）令a^x=t，因为a＞1，x＞0，所以t＞1，
所以方程f（x）=m可化为t+

2

t

=m，
即关于t的方程t²-mt+2=0有大于1的相异两实数解．
作h（t）=t²-mt+2，则

h(1)＞0 m 2 ＞1 m2-8＞0

，
解得2

2

＜m＜3；
所以m的取值范围是(2

2

 ， 3)．

点评：本题考查了函数图象的对称性，函数图象与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，有一定的思维难度，属于中档题．