Question

已知函数f（x）=

lnx

x

的图象为曲线C．
（1）求曲线C：y=f（x）在点A（1，0）处的切线l的方程．
（2）证明：除切点（1，0）之外，切线l在曲线C的上方．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求出切点处切线斜率，代入点斜式方程，可以求解；
（2）设g(x)=x-1-

lnx

x

，利用导数分析函数的单调性，可得g（x）≥g（1）=0，从而可得结论．

解答： （1）解：∵f（x）=

lnx

x

，
∴f′（x）=

1-lnx

x2

，
∴f′（1）=1，
∴曲线C：y=f（x）在点A（1，0）处的切线l的方程为y=x-1；
（2）证明：设g(x)=x-1-

lnx

x

，可得g/(x)=

x2-1+lnx

x2

．
当x≥1时，g（x）为递增；当0＜x＜1时g（x）为递减，
∴g（x）≥g（1）=0，
∴x-1≥

lnx

x

，即除切点（1，0）之外，切线l在曲线C的上方．

点评：本题考查的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．