Question

如图，△ABC的三个内角分别为A，B，C，cosA=

1

3

，cosB=

2 2

3

．CD是∠ACB的角平分线．
（1）求角C的大小；
（2）求∠ADC的余弦值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）由cosA与cosB都大于0，得到A与B都为锐角，求出cos²A+cos²B=1，变形后利用同角三角函数间基本关系及诱导公式变形求出A+B的度数，即可确定出C的度数；
（2）由CD为角平分线，利用三角形外角性质得到∠ADC=B+

π

4

，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值cos∠ADC的值．

解答： 解：（1）∵cosA＞0，cosB＞0，且A，B是△ABC的内角，
∴A与B都为锐角，
∵cos²A+cos²B=

1

9

+

8

9

=1，
∴sin²A=cos²B，即sinA=cosB，
∴sinA=sin（

π

2

-B），即A=

π

2

-B，
∴A+B=

π

2

，
则C=

π

2

；
（2）由（1）得：C=

π

2

，
∴∠DCB=

π

4

，即∠ADC=B+

π

4

，
∴cos∠ADC=cos（B+

π

4

）=cosBcos

π

4

-sinBsin

π

4

=

2 2

3

×

2

2

-

1

3

×

2

2

=

4- 2

6

．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．