Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=

1

2

，a_n=

2-n

n

S_n，则

lim

n→∞

（S₁+S₂+…+S_n）=

 

．

Answer 1

考点：极限及其运算

专题：等差数列与等比数列

分析：由a₁=

1

2

，a_n=

2-n

n

S_n，整理得

Sn

Sn-1

=

1

2

•

n

n-1

，再由迭乘得到S_n=(

1

2

)n•n，依据错位相减法得到S₁+S₂+…+S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

，进而可得到

lim

n→∞

（S₁+S₂+…+S_n）的值．

解答： 解：由于数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=

1

2

，a_n=

2-n

n

S_n，
则a₂=0，S₂=

1

2

，且na_n=（2-n）S_n，
即n（S_n-S_n-1）=（2-n）S_n
整理得

Sn

Sn-1

=

1

2

•

n

n-1

则S_n=

Sn

Sn-1

•

Sn-1

Sn-2

…

S3

S2

•S2
=（

1

2

•

n

n-1

）•（

1

2

•

n-1

n-2

）…（

1

2

•

3

2

）•

1

2

=(

1

2

)n•n
故S₁+S₂+…+S_n=(

1

2

)•1+(

1

2

)2•2+(

1

2

)3•3+…+(

1

2

)n-1•(n-1)+(

1

2

)n•n             ①

1

2

×①得到：

1

2

（S₁+S₂+…+S_n）=

1

2

[(

1

2

)•1+(

1

2

)2•2+(

1

2

)3•3+…+(

1

2

)n-1•(n-1)+(

1

2

)n•n]
=(

1

2

)2•1+(

1

2

)3•2+…+(

1

2

)n•(n-1)+(

1

2

)n+1•n                                          ②
①-②得到：

1

2

（S₁+S₂+…+S_n）=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(

1

2

)n+1•n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-(

1

2

)n+1•n=1-

1

2n

-

n

2n+1

则S₁+S₂+…+S_n=2-

1

2n-1

-

n

2n

故

lim

n→∞

（S₁+S₂+…+S_n）=

lim

n→∞

（2-

1

2n-1

-

n

2n

）=2
故答案为：2．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，数列极限的应用，考查计算能力，转化思想的应用，注意数列极限存在的含义．