Question

已知函数f（x）=1-cosx（0＜x＜

π

2

）．数列{a_n}满足：0＜a₁＜

π

2

，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（Ⅰ）求证：0＜a_n＜

π

2

（n∈N^*）；
（Ⅱ）求证：数列{a_n}是递减数列．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）利用数学归纳法即可证明：0＜a_n＜

π

2

（n∈N^*）；
（Ⅱ）构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可证明数列{a_n}是递减数列．

解答： 解：（Ⅰ）①当n=1时，显然成立，
②假设n=k时，0＜a_k＜

π

2

，则cosa_k∈（0，1），
∴a_k+1=1-cosa_k∈（0，1），
∴当n=k+1时，原不等式成立，
由①②可知0＜a_n＜

π

2

（n∈N^*）；
（Ⅱ）要证数列{a_n}是递减数列，即证a_n+1＜a_n，
即证f（a_n）＜a_n，
即1-cosa_n＜a_n，
令g（x）=x+cosx-1，0＜x＜

π

2

，
g′（x）=1-sinx＞0，
∴g（x）=x+cosx-1在0＜x＜

π

2

上单调递增，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，
即x＞1-cosx，0＜x＜

π

2

，
∴1-cosa_n＜a_n，
即数列{a_n}是递减数列．

点评：本题主要考查递推数列的应用，利用数学归纳法是解决不等式的基本方法，综合考查了函数单调性和导数之间的关系．