Question

13．已知函数f（x）对于一切正实数x，y都有f（xy）=f（x）f（y）且x＞1时，f（x）＜0，f（2）=$\frac{1}{9}$．
（1）求证：f（x）＞0；
（2）求证：y=f（x）在（0，+∞）上为单调减函数；
（3）若f（m）=9，试求m的值．

Answer 1

分析 （1）由x=$\sqrt{x}$•$\sqrt{x}$，即可证明f（x）＞0；
（2）根据函数单调性的定义即可证明y=f（x）在（0，+∞）上为单调减函数；
（3）若f（m）=9，由f（2）=$\frac{1}{9}$得f（m）•f（2）=1，进行转化求解．

解答 （1）证明：∵x＞0，
∴x=$\sqrt{x}$•$\sqrt{x}$，则由f（xy）=f（x）f（y），
得f（x）=f（$\sqrt{x}$）•f（$\sqrt{x}$）=f（$\sqrt{x}$）²＞0．
（2）证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）+f（x₁）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁）
由此得到y=f（x）是在（0，+∞）上为单调减函数．
（3）解：令x=2，y=1，则f（2）=f（1）f（2），
即f（1）=1，
∵f（2）=$\frac{1}{9}$，f（m）=9，
∴f（m）•f（2）=9×$\frac{1}{9}$=1=f（1），
即f（2m）=f（1），
则2m=1，解得m=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查函数值的计算，函数单调性的判断，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，考查学生的运算推理能力．