Question

18．已知0≤x≤1时，不等式-4x²+4ax-4a-a²≤-5恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=-4x²+4ax-4a-a²+5．x∈[0，1]．
分类讨论（1）当△≤0时，即a$≤-\frac{5}{4}$，f（x）≤0恒成立，
（2）当△＞0时，即a$＞-\frac{5}{4}$，利用对称轴的位置得出不等式组只需$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≥1}\\{f（1）=-4+4a-4a-{a}^{2}+5≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤0}\\{f（0）=-4a-{a}^{2}+5≤0}\end{array}\right.$求解即可．

解答 解：设函数f（x）=-4x²+4ax-4a-a²+5．x∈[0，1]．
对称轴x=$\frac{a}{2}$，△=16a²-4×（-4）×（-4a-a²+5）=64a+80，
（1）当△≤0时，即a$≤-\frac{5}{4}$，f（x）≤0恒成立，
即0≤x≤1时，不等式-4x²+4ax-4a-a²≤-5恒成立，
（2）当△＞0时，即a$＞-\frac{5}{4}$，
要使0≤x≤1时，不等式-4x²+4ax-4a-a²≤-5恒成立，
只需$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≥1}\\{f（1）=-4+4a-4a-{a}^{2}+5≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤0}\\{f（0）=-4a-{a}^{2}+5≤0}\end{array}\right.$
求解得出$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a≥1或a≤-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{a≥1或a≤-5}\end{array}\right.$，
即可得出a≥2，使0≤x≤1时，不等式-4x²+4ax-4a-a²≤-5恒成立，
有（1）（2）得出a≥2或a$≤-\frac{5}{4}$．
故答案为：a≥2或a$≤-\frac{5}{4}$．

点评 本题综合考察了二次函数性质的运用求解函数最值与不等式恒成立问题的运用，关键分类讨论得出不等式组即可．