Question

4．求函数y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{2-x}$的值域．

Answer 1

分析 通过换元法求出函数的值域即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x-1≥0}\\{2-x≥0}\end{array}\right.$，解得：1≤x≤2，
令x=1+sin²α，α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴y=$\sqrt{1{+sin}^{2}α-1}$+$\sqrt{1{-sin}^{2}α}$
=sinα+cosα
=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
由0≤α≤$\frac{π}{2}$，得：0≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
∴当α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$时，sin（α+$\frac{π}{4}$）取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时y=1，
当α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，取得最大值1，此时y=$\sqrt{2}$，
∴1≤y≤$\sqrt{2}$，
故函数的值域是：[1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了函数的值域问题，是一道中档题．