Question

12．已知$\overrightarrow{a}$=（3，-2，-3），$\overrightarrow{b}$=（-1，x-1，1），且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，则x的取值范围是x＞-2且x≠-$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 运用数量积公式求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积，再求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的共线的情况，由于$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＜0，解不等式即可得到范围．

解答 解：$\overrightarrow{a}$=（3，-2，-3），$\overrightarrow{b}$=（-1，x-1，1），
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-3-2（x-1）-3=-4-2x，
若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$，
即有-1=3λ，x-1=-2λ，1=-3λ，
x=$\frac{5}{3}$，
由于$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，
则$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$＜0，
即为-4-2x＜0，解得，x＞-2．
则有x＞-2且x≠-$\frac{5}{3}$．
故答案为：x＞-2且x≠-$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积的运用，考查向量的夹角为钝角的条件，考查运算能力，属于基础题和易错题．