Question

15．已知函数f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+ax，x∈（0，+∞）（a为常数），若函数f（x）在[2，+∞）为单调函数，则a的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{4}$]∪[0，+∞）．

Answer 1

分析 求导f′（x），从而化f（x）在[2，+∞）上是单调函数为在[2，+∞）上，$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+a≥0或$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+a≤0恒成立，配方法求F（x）=（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$的值域即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+a；
f（x）在[2，+∞）上是单调函数即在[2，+∞）上，$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+a≥0或$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+a≤0恒成立，
即a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$或a≤$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$；
令F（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$；
∵x≥2，
∴0＜$\frac{1}{x}$≤$\frac{1}{2}$；
∴-$\frac{1}{4}$≤（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$＜0；
故a≥0或a≤-$\frac{1}{4}$，
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{4}$]∪[0，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于难题．