Question

10．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），直线l与抛物线交于两点A、B，若OA⊥OB．
（Ⅰ）求证：直线l过定点；
（Ⅱ）若p=2时，求弦AB的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设直线l：x=my+n，代入抛物线方程，由韦达定理y₁y₂=-2pn，代入${x_1}{x_2}=\frac{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}{{4{p^2}}}={n^2}$，由$\overrightarrow{OA}=（{x_1}，{y_1}）$，$\overrightarrow{OB}=（{x_2}，{y_2}）$，由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，x₁x₂+y₁y₂=0，即可得到n=2p，代入x=my+2p，因此直线l过定点（2p，0）；
（Ⅱ）p=2时，求得直线l的方程，代入抛物线方程，由韦达定理求得y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16，由弦长公式可得：丨AB丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•丨y₁-y₂丨=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=4$\sqrt{{m}^{4}+5{m}^{2}+4}$，由函数的单调性可知：m=0时，|AB|_min=8．

解答 解：（Ⅰ）证明：设直线l：x=my+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，可得y²-2pmy-2pn=0，
∴△=4p²m²+8pn＞0，
由韦达定理可得：y₁y₂=-2pn，
∴${x_1}{x_2}=\frac{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}{{4{p^2}}}={n^2}$，
又$\overrightarrow{OA}=（{x_1}，{y_1}）$，$\overrightarrow{OB}=（{x_2}，{y_2}）$
∴OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴n²-2pn=0，
又∵n≠0，
∴n=2p，
∴x=my+2p，
直线l过定点（2p，0），满足△＞0；
（Ⅱ）p=2时，y²=4x，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=mx+4}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理可得：y²-4my-16=0，
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16，
则$\begin{array}{l}|AB|=\sqrt{1+{m^2}}|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{1+{m^2}}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}\\=\sqrt{1+{m^2}}•\sqrt{16{m^2}+64}=4\sqrt{（1+{m^2}）（{m^2}+4）}=4\sqrt{{m^4}+5{m^2}+4}\end{array}$，
∵m⁴≥0，m²≥0，
∴m=0时，|AB|_min=8．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标表示，向量垂直的充要条件及弦长公式，考查计算能力，属于中档题．